Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Álgebra A 62

2026 ESCAYOLA

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA

Unidad 2

Anterior Siguiente

13. Sean $\Pi=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 x-y+3 z=5\right\}$, $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(1,-1,-1)+(1,0,-2), \lambda \in \mathbb{R}\right\}$ y $L^{\prime}=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\mu(3,5,1)+(0,1,2), \mu \in \mathbb{R}\right\}$. Calcular $L \cap \Pi$ y $L^{\prime} \cap \Pi$.

Respuesta

1️⃣ $L \cap \Pi$

La recta $L$ tiene esta ecuación paramétrica:

$L: \lambda(1,-1,-1)+(1,0,-2)$

Así que un punto genérico de $L$ es de la forma...

$(\lambda + 1, -\lambda, -\lambda - 2)$

Pedimos que este punto cumpla la ecuación del plano $\Pi$

$2 x-y+3 z=5$

$2 \cdot (\lambda + 1) - (-\lambda) + 3 \cdot (-\lambda - 2) = 5$

$2\lambda + 2 + \lambda - 3\lambda - 6 = 5$

$-4 = 5$ -> Absurdo!

Esto significa que no existe ningún valor de $\lambda$ para el cual un punto de la recta $L$ pertenece al plano $\Pi$. Por lo tanto, la recta $L$ y el plano $\Pi$, no se intersecan. 

👉 $L \cap \Pi = \emptyset$

2️⃣ $L' \cap \Pi$

La recta $L'$ tiene esta ecuación paramétrica:

$L': \mu(3,5,1)+(0,1,2)$

Un punto genérico de $L'$ es de la forma... 

$(3\mu, 5\mu + 1, \mu + 2)$

Pedimos que este punto cumpla la ecuación del plano $\Pi$

$2 x-y+3 z=5$

$2 \cdot (3\mu) - (5\mu + 1) + 3 \cdot (\mu + 2) = 5$
$6\mu - 5\mu - 1 + 3\mu + 6 = 5$

$4\mu + 5 = 5$
$4\mu = 0$
$\mu = 0$

Por lo tanto, si $\mu = 0$, ese punto de $L'$ verifica la ecuación del plano $\Pi$. Veamos cuál es...

$(3\mu, 5\mu + 1, \mu + 2) = (0,1,2)$

Con lo cual, la recta $L'$ y el plano $\Pi$ se intersecan en el punto $(0,1,2)$.

👉 $L' \cap \Pi = \{(0,1,2)\}$
Reportar problema
🤖
¿Tenés dudas? Pregúntale a ExaBoti
Asistente de IA para resolver tus preguntas al instante
🤖
¡Hola! Soy ExaBoti

Para chatear conmigo sobre este ejercicio necesitas iniciar sesión

Iniciar Sesión Registrarse
ExaComunidad
Conecta con otros estudiantes y profesores
No hay comentarios aún

¡Sé el primero en comentar!

¡Uníte a la ExaComunidad! 💬

Conéctate con otros estudiantes y profesores

Iniciar Sesión Registrarse